4.1 Definición de serie.

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r + r² + r³ + r⁴ + ... donde ... indica que la serie continúa indefinidamente.

Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.

Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos:

 

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r + r² + r³ + r⁴ + ... donde ... indica que la serie continúa indefinidamente.

Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.

Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos:

 

Propiedades generales de las series numéricas

• å an = S entonces å K an = K S Solo si k es nº real distinto de 0
• Si å an es divergente no podemos saber nada.
• Al suprimir añadir o modificar un número finito de términos de una serie el carácter de una serie no se modifica, si bien cuando la serie sea convergente la suma puede serse alterada.

 

 

 

 

 

BIBLIOGRAFIAS:

http://www.rankhispano.com/calculo/series.php

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html

 

4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razon(criterio de D´Alembert) y prueba de la raiz (criterio de Cauchy).

 

 

 

BIBLIOGRAFIAS:

webs.uvigo.es/matematicas/campus_ourense/...BB/.../guion3.pdf

www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/.../08-series.pdf

 

4.3 SERIESDE POTENCIA

Series De Potencia Series de potencias Convergencia de las series de potencias Definición Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma ∞Σ n=0 an(x−c)n. El número real an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el término n-ésimo de la serie es an(x−c)n). Si los coeficientes a0, a1, am−1 son nulos, la serie suele escribirse ∞Σ n=m an(x−c)n. En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los polinomios. ¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura la convergencia para x =c, con suma a0, y puede suceder que éste sea el único punto en el que la serie converge.

Una serie del tipo:

+ + + +K+ n +K

n a a x a x a x3 a x

3

2

0 1 2

ordenada por potencias enteras crecientes de la variable x y con coeficientes , , , , , . 0 1 2 K n K a a a a

constantes, independientes de x , recibe el nombre de serie de potencias.

A menudo consideramos la serie de potencias en una forma más general:

+ ( − )+ ( − ) + ( − ) +K+ ( − )n +K

n a a x a a x a a x a 3 a x a

3

2

0 1 2

donde a es otra constante. De hecho, por el Mathboch de “Aplicaciones de las derivadas” sabemos

que este tipo de series reciben el nombre de series de MacLaurin y de Taylor, respectivamente. Una

serie de Taylor puede ser reducida a una de MacLaurin mediante el siguiente cambio de variable:

x − a = x'

En lo que concierne a la convergencia de series, trataremos sólo las series de MacLaurin puesto que

las de Taylor se reducen a las primeras mediante un simple cambio de variable.

Proyecto e-Math 13

Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

4.4 Radio de convergencia.

En matemáticas



Definición, una serie de la forma , con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x₀. La serie _{converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho^{http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_de_convergencia}}Si nos limitamos al conjunto de los números reales
EjemplosMostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.
Radio de convergencia finitoLa función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:

(para el cálculo de la serie vea

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

Distancia a la singularidadEl cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro x0 = 3 tiene la forma:

Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. Notemos que la función 1 / (1 − x) tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 − 1 | = 1 y | 3 − 1 | = 2. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:
Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.La serie
Radio de convergencia infinitoPor ejempo, la función e^x puede desarrollarse en series de potencia de x − 0 = x, de hecho .
y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia será infinito.
....., según el teorema de HYPERLINK "Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma , con , viene dado por la expresión:

4.5 SERIE DE TAYLOR

Qué es: La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

Para que sirve: La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...

Cómo funciona: La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

Existen series de Taylor para:

• Función exponencial
• Logaritmo natural

Serie Geométrica

Teorema del binomio

Funciones trigonométricas:

• Seno
• Coseno
• Tangente
• Secante
• Arco seno
• Arco tangente

Funciones hiperbólicas:

• Senh
• Cosh
• Tanh
• Senh-1
• Tanh-1

 

http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/serie_taylor.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:TaylorCosAll.png

4.6 REPRESENTACION DE FUNCIONE MEDIANTE LA SERIE DE TAYLOR

En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f ⁽ⁿ⁾(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

 http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor

4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor

Teorema: Sea f una función con derivada n-ésima en el punto x0 . Entonces existe un polinomio P(x) y sólo uno de grado ≤ n que llamaremos de Taylor que

Satisface :

F(x0)  P(x0); f´(x0) P´(x0); ......;fⁿ⁾⁽x0)  Pn(x)

Dicho polinomio viene dado por:

Pn(x) = f(x0) + f´(x0)(x − x0) + 1/2! f´´(x0)(x − x0)² +. . . . . . + 1/n! fⁿ⁾(x0)(x − x0)n

Nota: Este polinomio proporciona una

aproximación razonable de f en los

puntos cercanos a x0.

Nota: Cuando el desarrollo lo hacemos

en el punto x0 + 0, decimos al polinomio

de Mac-Laurin.

Teorema: Sea n ∈ ℕ, f : [a, b] → Ɍ tal que f y sus derivadas f´, f´´, . . . . , fⁿ⁾ son

continuas en [a, b] y fⁿ⁾1 existe en (a, b).

Si x0 ∈ [a, b] entonces para cualquier x

en [a, b] existe un c entre x y x0 tal que

f(x )= f(x0) (+f´(x0)(x−x0) + 1/2! f´´(x0)(x − x0)² +. . . .  1/n! fn)(x0)(x−x0)n + Rn(x) donde Rn(x)  1 (n + 1)! fn1(c)(x − x0)ⁿ⁺¹ y le llamaremos resto de Lagrange.

Luego f(x) =Pn(x) +Rn(x)

Teorema: Si f es una función n veces

derivable en el punto x0 y Pn(x) es su

polinomio de Taylor se cumple: x→x0

lim f(x) – Pn(x)/

(x − x0)ⁿ = 0

Polinomios de Taylor de orden 1 y 2

de la función f(x) = exp x

Aplicación al cálculo aproximado

de valores de una función

1. El Rn en el teorema de Taylor se

puede usar para estimar el error al

aproximar una función mediante su

polinomio de Taylor.

Si el número n se fija de antemano,

entonces se plantea la cuestión de la

precisión de la aproximación . Si se especifica la precisión entonces la

cuestión será encontrar un n adecuado.

2. La sustitución de una función por su

polinomio de Taylor tiene validez local,

es decir, la aproximación es buena en un entorno del punto.

3. La fórmula de Taylor también puede

evaluarse si una función cumple los

requisitos del teorema de Taylor en un

intervalo [x, x0] teniendo en cuenta que,

en ese caso, c pertenecería al intervalo(x, a).

Pertenece a: MDX (Materials Docents en Xarxa)   

Descripción: Enginyeria informàtica. II26: Processadors de Llenguatge

Autor(es): Vilar Torres, Juan Miguel - 

Id.: 49450949

Idioma: español  - 

Versión: 1.0

Estado: Final

Audiencia: Estudiante  -  Profesor  -  Autor  - 

Estructura: Atomic

Copyright: sí

Relación: [References] http://e-ujier.uji.es/pls/www/!gri_www.euji22102?p_id=26&p_tipo=T&p_curso=II26&p_idioma=CA