En esta unidad se estudiaran las aplicaciones de la integral.
El subtema 3.1 abordara las áreas generadas en la integración de funciones y se abordaran:el área bajo la gráfica de una función, asi como el área entre las gráficas de funciones.
El subtema 3.2 fundamentara lalongitud de arco de una curva, también llamadarectificación de una curva y que es la medida de la distancia ocamino recorridoa lo largo de una curvao dimensión lineal.
En el subtema 3.3se vera el calculo de volúmenes de sólidos de revolución, ejemplificando el metodo del disco, el Método de la arandela y el Método de los casquillos cilíndricos
En el subtema 3.4 veremos lo referente al calculo de funciones.
Para finalizar el subtema 3.5 tratara de reforzar el tema general con otras aplicaciones de la integral, como lo es la longitud de una curva, la integracion numerica, etc..
Para el cálculo de áreas de regiones planas consideraremos en primer lugar el caso en que la región está determinada por la gráfica de una función en [a,b] y el eje Ox, y después el caso en que la región la determinan los gráficos de dos funciones en [a,b], distinguiendo entre si estas funciones se cortan o no.
Área de una región determinada por la gráfica de una función en [a,b] y el eje Ox
La función toma valores positivos en todo [a,b].Sea una función f (x) definida en el intervalo [a,b]. Si la función es no negativa en [a,b], es decir, si f (x) ≥ 0 para todo x∈[a,b] , entonces el valor de la integral definida de f (x) entre a y b.
Sea a∫ f x dx , es igual al área delimitada por la gráfica de la función f (x) con el eje Ox entre las líneas verticales determinadas por x = a y x = b , tal como se muestra en la figura. Observamos que cuando f (x) es no negativa, su gráfica se sitúa por encima del eje Ox , en la parte positiva del eje de ordenadas.
La función toma valores negativos en todo [a,b]
Si la función f (x) es negativa (su gráfica se sitúa en la parte del plano que corresponde al eje de ordenadas negativo) entonces el valor de la integral a∫ f x dx es negativo e igual en valor absoluto al del área delimitada por la gráfica de la integral con el eje Ox entre les líneas x = a y x = b . Con lo cual el área de la zona delimitada por la función con el eje Ox es a−∫ f x dx Caso generalEn general, si el área que se quiere calcular la delimita, con el eje Ox y x = a y x = b ,
la gráfica de una función f (x) cuyo signo a lo largo del intervalo [a, b] pasa de positivo a negativo, o al contrario, habrá que tenerlo en cuenta y hacer el cálculo del área total sumando las áreas parciales calculadas en los intervalos de signo constante.
Área determinada por los gráficos de dos funciones en [a,b].
Las gráficas de las funciones no se cortan en [a, b].Dadas dos funciones f (x) y g(x) , para calcular el área determinada por sus gráficas entre las líneas verticales x = a y x = b bastará calcular las áreas determinadas por cada gráfica con el eje Ox, entre x = a y x = b , y después restar o sumar dichasáreas según sea la situación.Consideremos en primer lugar el caso en que una de las funciones es mayor o igual que la otra en todo el intervalo considerado. Es el caso en que la gráfica de una de las funciones se sitúa por encima de la gráfica de la otra. Supongamos, por ejemplo que f (x) ≥ g(x) en todo [a, b] . Entonces el área buscada es la integral de la diferencia entre las funciones
f (x) y g(x) , o sea ∫ f x dx − ∫ g x dx =∫ f x − g x dx
A continuación se explicaran los 2 tipos de áreas a estudiar en esta unidad:
Área bajo la gráfica de una función:
Así como también; Área entre las gráficas de funciones:
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea
Historia
La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.[1]
El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhausción de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,[2] así como el cálculo aproximado del número π
Área de superficies curvas
El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.
Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condición matemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.
Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superficie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución
Superficie de revolución
Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar un curva plana o generatriz alrededor de un eje directriz, la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale
Cálculo general de áreas
Mediante la geometría diferencial de superficies o más generalmente la geometría riemanniana puede calcularse el área de cualquier superficie curva finita. Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces, dada una región Ω contenida en una superficie su área resultar ser:
De manera un poco más general si conocemos la ecuación paramétrica de la superficie en función de dos coordenadas cualesquiera u y v entonces el área anterior puede escribirse como:
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos degeometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.
En matemática, la integración de una función no negativa, en el caso más simple, puede ser mirada como el área bajo la gráfica de una curva y el eje x.
La integral de una función f entre los límites de integración a y b pueden ser interpretados como el área bajo la gráfica de f.
Esto es fácil de entender para funciones que nos son familiares como los polinomios, la exponencial o logarítmica.
Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b, la grafica de la funcion 'f' y el eje 'x'? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:
Este area es el valor de la integral
entre a y b de f y la denotamos por:
Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral definidaes una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).
Asi cuando n=2:
uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo n=4
Entonces sii llamamos Sn a la suma de los rectangulos, se tiene que:
Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:
El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas:
f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] .
Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:
Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3.El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral.
Ejemplo de Aplicación 1:
La siguiente grafica representa el area entre funciones explicada anteriormente:
Ejemplo De Aplicacion 2:
La figura 5 hace la función de representar el área desarrollada anteriormente:
Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:
El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas:
f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] .
Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:
Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3.El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral.
Ejemplo de Aplicación 1:
La siguiente grafica representa el area entre funciones explicada anteriormente:
Ejemplo De Aplicacion 2:
La figura 5 hace la función de representar el área desarrollada anteriormente:
Fuentes:
Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:
El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas:
f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] .
Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:
Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3.El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral.
Ejemplo de Aplicación 1:
La siguiente grafica representa el área entre funciones explicada anteriormente:
Ejemplo De Aplicacion 2:
La figura 5 hace la función de representar el área desarrollada anteriormente:
Longitud de curvas Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Formulacion
Al considerar una curva definida por una funcióny su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación: En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t comoela longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante: Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante la longitud del arco comprendido en el intervalo toma la forma:
Deducción de la fórmula para funciones de una variable
Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una función , y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S que va desde un punto a a uno b. Con este propósito podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también podemos exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido,
siendo entonces cada hipotenusa igual a , al aplicarse el teorema pitagórico. Así, una aproximación de S estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que;
Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;
Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma:
Ahora bien, mientras más pequeños sean estos n segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como deseemos haciendo que Δx tienda a cero. Así, Δx deviene en dx, y cada cociente incremental Δyi / Δxi se transforma en un dy / dx general, que es por definición . Dados estos cambios, nuestra aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;
http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco
Lalongitud de arco de una curva, también llamadarectificación de una curva, es la medida de la distancia ocamino recorridoa lo largo de una curvao dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentosirregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del calculotrajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Formula General
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible., escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.
Cuantos más puntos escojamos en C, mejor seria el valor obtenido como aproximación de la longitud de C.
(VER IMAGEN 1.0)
Imagen 1.0
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave. (VER IMAGEN 2.0)
Imagen 2.0
Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2. Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:
Video explicando 1 ejemplo de longitud del arco de una curva:
Fuente de informacion: Libro de calculo integral para ciencias basicas en ingenieria
Autor: Rene benitez
Editorial: Trillas
e
, al aplicarse el teorema pitagórico. Así, una aproximación de 
