3.2 Longitud De Curvas

Longitud de curvas

Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.


Formulacion

Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t comoela longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante:
 
Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante la longitud del arco comprendido en el intervalo toma la forma:
 

Deducción de la fórmula para funciones de una variable

 

Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una función , y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S que va desde un punto a a uno b. Con este propósito podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también podemos exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido,  

siendo entonces cada hipotenusa igual a , al aplicarse el teorema pitagórico. Así, una aproximación de S estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que;
  


Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;


Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma:


Ahora bien, mientras más pequeños sean estos n segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como deseemos haciendo que Δx tienda a cero. Así, Δx deviene en dx, y cada cociente incremental Δy_i / Δx_i se transforma en un dy / dx general, que es por definición . Dados estos cambios, nuestra aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco

 

 

La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Formula General

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.

Cuantos más puntos escojamos en C, mejor seria el valor obtenido como aproximación de la longitud de C. 

(VER IMAGEN 1.0)

Imagen 1.0

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave. (VER IMAGEN 2.0)

Imagen 2.0

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)²=(dx)²+(dy)².
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

Video explicando 1 ejemplo de longitud del arco de una curva:

 

 

 

 

Fuente de informacion: Libro de calculo integral para ciencias basicas en ingenieria
Autor: Rene benitez
Editorial: Trillas