Solución general de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y solución particular de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, es
absolutamente esencial conocer los conceptos de valor propio y vector
propio. Para una matriz M dada, es llamadolos valores propios, si la
condición es verdadera,
Aquí x se llama vector propio de la matriz M.
Es decir, los vectores propios son aquellos vectores que luego de ser
multiplicados por la matriz de entrada permanecen proporcionales a la
matriz de entrada o resultan cero.
Sea A la matriz que contiene los valores propios, como [ 1, 2, 3 … n]. A
continuación se indican los pasos para resolver un sistema de
ecuaciones diferenciales.
1. Calcula las ecuaciones del sistema de ecuaciones diferenciales y
construye la matriz que contiene los coeficientes de todas las
ecuaciones en el orden en que aparecen en el sistema de entrada de la
ecuación.
2. Los valores propios se obtienen de esta matriz que contiene los términos de los coeficientes.
3. Calcula todos los vectores propios de valores propios como los
obtenidos en el paso anterior. Nómbralos en la secuencia a medida que
son determinados como EV1, EV2, EV3 …EVn.
4. Calcula las ecuaciones correspondientes para cada uno de los
conjuntos de valores propios y los vectores propios asociados. Repite
este paso para cada par de valores y vectores propios.
5. Obtén la solución particular para un sistema de ecuaciones no homogéneo como,
Aquí X(t) se define como,X(t) = [x1 x2 x3 … xn]
Y en caso de que el sistema de entrada sea una ecuación diferencial
homogénea, entonces la solución particular del sistema será dada de la
forma,
La ecuación anterior nos da la relación,
En la relación anterior, y son valores propios y vectores propios, respectivamente.
6. Y la solución general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es dada de la forma,
En general podemos decir que la solución de un sistema de ecuación
diferencial es llamada solución general si los valores de las constantes
no se obtienen en la solución final. La misma solución puede
convertirse en una solución particular cuando tenemos el valor de las
constantes determinadas. Esto se hace en el caso que el sistema de
entrada de la ecuación diferencial sea un problema de valor inicial con
las condiciones iniciales establecidas para la determinación de los
términos constantes.
El ejemplo siguiente aclarará el procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.
Determina el conjunto de ecuaciones como xT(t) = [(x1(t), x2(t)] para el
sistema de ecuaciones dx/ dt = A * x con las condiciones iniciales
establecidas como x(0) = x0 = (x01, x02). El valor de la matriz A
estádada como,
La ecuación característica de la matriz de coeficientes arriba es,
f( ) = 2 –trace(A) * + det(A) = 2 + 4 + 4
Y las raíces de esta ecuación nos dan repetidos valores propios de la matriz como, 1 = 2 = −2.
Entonces, el vector propio de la matriz es dado de la forma,
La matriz tiene un solo vector propio ya que ambos valores propios son
los mismos. Por lo tanto, la solución general del problema se da como,
Por consiguiente, un vector propio generalizado puede ser calculado como, v = vp +s1* vh1 v1 v2 −1 0 +s1* 1 1
La solución particular de este problema sería vT(p) = (−1, 0) = v2, el
cual es el valor propio generalizado de esta matriz, junto con los
valores propios repetidos y vh es la solución homogénea dando el vector
propiov1.
Y la solución general del problema es,
Estonos da,
x1(0) = c1 e0 + c2 (0 – e0) = c1 – c2 = x01
x1(0) = c1 e0 + c2 (0) = c1 = x02
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