Los sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales encuentran sus aplicaciones en varios problemas
que surgen en el sistema del mundo real. Algunos de estos problemas se
discuten a continuación.
1. Problema mecánico del acoplamiento de los resortes:
Dos cuerpos con masa m1, m2, respectivamente, yacen sobre una mesa.
La
mesa está libre de fricción. Los dos cuerpos están conectados entre sí
con la ayuda de un resorte. Esteresorte está en una posición no
estirada.
También cada uno de estos cuerpos está conectado a una
superficie estática con la ayuda de los resortes. Una vez más, estos
resortes no están estirados.
La constante elástica de cada uno de los
resortes es k1, k2, k3, respectivamente. La situación anterior puede
ilustrarse como,
Aquí O1 es la posición inicial del primer cuerpo y
O2 es la posición inicial del segundo cuerpo.
Los cuerpos pueden ser
cambiados de su posición de equilibrio mediante mover cualquiera delos
cuerpos en cualquier dirección y luego soltarlos. Unejemplo de estoes,
En la figura anterior, x1 es la
cantidad de distancia recorrida por el primer cuerpo cuando este se
mueve desde la posición de equilibrio y x2 es la cantidad de distancia
recorrida por el segundo cuerpo cuando este se mueve desde la posición
de equilibrio.
Esto implica que el primer resorte se alarga desde la
posición estática por una distancia de x1 y el segundo resorte se alarga
desde la posición estática por una distancia de x2 – x1.Esto implica
que dos fuerzas restauradoras están actuando sobre el primer cuerpo,
estas son:
• La fuerza del primer resorte la cual actúa en dirección izquierda. Esta fuerza por la ley de Hookes igual ak1×1.
• La fuerza del segundo resorte que actúa en dirección derecha. Esta fuerza es igual a k2(x2 – x1).
Esto nos da la ecuación del movimiento,
De manera similar, la ecuación del movimiento para el segundo cuerpo es,
Las dos ecuaciones anteriores
forman un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y
pueden resolverse mediante el uso de las técnicas de solución de un
sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.
2. Problemas eléctricos: Muchos de los circuitos
eléctricos pueden ser reducidos para solucionar un sistema de ecuaciones
diferenciales. Sea un circuito eléctrico dado como,
Ahora, mediante la aplicación de Kirchhoff se tiene la ecuación del flujo de corriente en un nodo como,
Esta ecuación puede ser reducida como,
De manera similar, la ecuación del flujo de corriente del nodo dos se da como,
Esta ecuación puede ser reducida como,
Ahora, aplicando la ley de Kirchoff a la parte izquierda del circuito dado. Por lo tanto tenemos,
Del mismo modo, mediante la aplicación de la ley de Kirchoff a la parte derecha del circuito dado obtenemos,
Ahora, diferencia lasdos últimas ecuaciones para obtener el sistema de ecuaciones como,
Las ecuaciones anteriores pueden ser resueltas para
las variables i1, i2y el valor de la variable i puede determinarse con
la ayuda de estas dos variables. Un punto importante a mencionar es que
pueden existir más que ecuaciones para el ejemplo anterior. Por ejemplo,
una de las ecuaciones puede ser,
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